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附录B 一元线性回归分析
关键字: 附录B 一元线性回归分析 日期: 2024-7-8 22:27:56 点击 11456 次
附录B 一元线性回归分析
JTG 3441-2024《公路工程无机结合料稳定材料试验规程》---- 附录B 一元线性回归分析
1.相关产品链接：
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2.测试方法：
☞【附录B 一元线性回归分析】
3.使用说明：

附录B 一元线性回归分析

1 一元线性回归方程
 假设两个变量x与y之间线性相关，现由试验获得x和y的一组样本数据(x,y;),记它们之间的线性关系如下：y;=a+bx₇+E (i=1,2,……,n,n>2) (B-1)
 式中，a、b为待定的估计量；ε;为独立、等权的正态偶然误差Y(0,σ²);x;为普通自变量，如有随机性，则归入ε;之中。
 为求得a和b,用线性最小二乘法，即令其正则方程组为：记正则方求得由此获得方程(B-2)(B-3)(B-4)y=a+bx                                         (B-5)称为上述样本(xi,y;)的一元线性回归方程，b称为回归系数。在笛卡尔座标系中，上式表示的是一条通过重心(x,y) 的回归直线。b>0, 表明y 随x有线性增大的趋势；b<0,表明y 随x 有线性减小的趋势。
2 线性回归效果检验
 对任意一组样本数据，形式上都可按最小二乘法拟合出一条回归直线。显然，线性拟合的效果会有显著与不显著之分。以下，介绍用方差分析的方法来检验它。
 测量值y₁,y₂,…,y,之间的差异，是有两个方面的原因引起的：一是自变量x取值的不同；二是测量误差等其他因素的影响。为了对(x;,y;)线性回归的效果进行检验，必须将上述两原因造成的结果分解出来。如图B-1所示，将变量y的n个测值y;与其平均值y的偏离(y;-y)分解为由变量x的不同取值引起的回归偏离(;-)和由测量误差等其他因素造成的剩余偏离(y;-y)。并进一步用n个取值的偏离平方和来描述它们，分别记为2、∑回、∑剩。
 E=E(y-²=1,叫总偏离平方和。因为2=Z(y;-y)²=Z[(y,-}₁)+(j;-y)]²=2(y;-j)²+E(j;-y)²+2E(y;-j)(j;-y)可以证明，以上交叉项为零。
 因此有2=剩+2回这样就把总偏离平方和卫，分解为回归平方和三及剩余平方和2两部分。回归平方和2画反映了在y总的偏离中因x和y的线性关系而引起y变化的大小。剩余平方和2剩反映了在y总的偏离中除了x对y线性影响之外的其他因素而引起y变化的大小。这些其他因素包括测量误差x和y不能用直线关系描述的因素以及其他未加控制的因素等。由式(B-2)可知，回归分析的要求就是应使剩余平方和最小。即2剩愈小，回归效果愈好。由式(B-4) 与式(B-5),可将2画写成(B-7)而2剩=总一2回(B-8)由回归平方和及剩余平方和的意义可知，一个线性回归方程是否显著,取决于2及2的大小。若2四愈大而乏愈小，则说明y与x线性关系愈密切。回归方程显著的检验，通常采用F检验法。这里，需要构造统计量(B-9)式中，v为回归平方和的自由度；V为剩余平方和的自由度。在假定剩余偏离ε;服从独立、等权正态随机误差分布的前提下，F是服从F(v,V利)分布的。
 自由度是指独立观测值的个数。因三中n个观测值y;受平均值y的约束，这就等于有一个测值不是独立的，即失去一个自由度，余下自由度Va=n-1。2中只有b是独立变化的，即自由度v@=1。因此，自由度v=V-V回=n-2。7将自由度代回式(B-9)有                                           (B-10)在给定显著性水平α下，查F分布的临界值F。(1,n-2)。将计算值F与F(1,n-2)比较，若E>F(1,n-2)则认为该回归效果显著;反之，则不显著通常认为在α=0.01水平上显著,即F>F₀o₁(1,n-2)是回归高度显著;在α=0.05水平上显著,即F₀os(1,n-2)≤F≤F₀o(1,n-2)是回归显著;在α=0.10水平上显著,即F₀.no(1,n-2)≤F≤F₀os(1,n-2)是在0.1水平上显著。式(B-10)的分母为剩余方差，于是得剩余标准差(B-11)它的意义是表征除了x 与y线性关系之外其他因素影响y 值偏离得大小。
 线性回归效果的检验，可归纳为如下方差分析表，根据该表按照如下步骤进行检验：
 (1)依序计算统计量E=lZ回=bl,∑剩=2总-∑回表B-1方差分析表偏离平方和自由度标准偏差统计量F置信限F。(1,n-2)α=0.01α=0.05α=0.1回归2m=bl,1剩余∑利=∑-n-22刹S=总和E₂=l
 (2) 按一定显著水平α和自由度n∠2查F分布表，得到F。(1,n-2)的数值，比较统计量F与F(1,n-2)的大小，作距判断结论。
3 回归预测区间
 在某个非试验点x=w处，按回归方程y=d+bx求得回归值y₀,需要预报j。偏离实际值y。有多大。这是要解决一个回归预测的精度问题。这里，为讨论方便，仍假设测量值》及回归值y均服从正态分布。可构造一个服从t分布的统计量(B-12)在给定的置信水平p下，有如下的预测区间p[g-△<y<y+△]=p(B-13)式中(B-14)λ可查t 分布临界值获得。
 式(B-13) 与(B-14) 表明，用回归方程预测的偏差△除与p、n及S有关外，还与观测x有关。当x靠近x,△小；当x远离x时，△就大。特别当x在x附近，又足够大时，可简化得的预测区间p[g-λS<y<y+λS]=p(B-15)λ可查t 分布临界值获得。-

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